Giải bài tập 2 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$.

Lời giải chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là: $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}$.

Ta có ${x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x =  \pm 1$.

Do đó:

$S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} {\rm{\;}} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} {\rm{\;}} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} {\rm{\;}} = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^3}} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - x} \right)dx}$

$= \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$.