Giải bài tập 2 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).

Lời giải chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là: \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} \)

Ta có \({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x =  \pm 1\).

Do đó,

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| + \left| { - \frac{1}{2}} \right| = 1\)