Giải bài tập 9.40 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Lời giải chi tiết

a) Vì BE, CF là đường cao của $\Delta$ABC nên $BE \bot AC,CF \bot AB$$\Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = \widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}$

Do đó, tam giác AFH vuông tại F và tam giác AEH vuông tại E.

Suy ra, bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Mà I là trung điểm của AH nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Vì tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I nên $IA = IE$. Do đó, $\Delta$IAE cân tại I nên $\widehat {IAE} = \widehat {IEA}$.

Lại có: $\widehat {EAI} = \widehat {EBC}$ (cùng phụ với góc ACB) nên $\widehat {IEA} = \widehat {EBC}$ (1)

$\Delta$BEC vuông tại E, EM là đường trung tuyến nên $EM = MC$. Do đó, $\Delta$MEC cân tại M.

Suy ra, $\widehat {MCE} = \widehat {MEC}$ (2)

$\Delta$BEC vuông tại E nên $\widehat {ECB} + \widehat {EBC} = {90^o}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat {MEC} + \widehat {IEA} = {90^o}$.

Mà $\widehat {MEC} + \widehat {IEA} + \widehat {IEH} + \widehat {HEM} = {180^o} \Rightarrow \widehat {IEM} = {90^o}$. Do đó, $IE \bot ME$ tại M. Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.