Giải bài tập 5.3 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d, C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) hay không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Lời giải chi tiết

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  \(AB \bot d\) nên \(d \bot CD\)

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.