Giải bài tập 5.17 trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OHB} = 90^\circ \)

suy ra \(\Delta OAH = \Delta OBH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

suy ra \(AH = BH\) (hai cạnh tương ứng), do đó \(AB = 2AH\)

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

\(A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}\) (định lý Pythagore)

hay \(A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 18,75\)

suy ra \(AH = \frac{5\sqrt 3}{2} \)(cm)

do đó \(AB = 2.\frac{5\sqrt 3}{2}  = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(cm)

c) Xét tam giác OAH vuông tại H có:

\(\cos \widehat {AOH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{2,5}}{5} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat {AOH} = 60^\circ \)

Mà: \(\Delta OAH = \Delta OBH\)

Do đó \(\widehat {BOH} = \widehat {AOH} = 60^\circ \)(hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {BOH} + \widehat {AOH} = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \)

hay sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \)

Độ dài cung AB là: \(\frac{{120}}{{180}}.\pi .5 = \frac{{10}}{3}\pi \)(cm)

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

\(\frac{{{\rm{120}}}}{{{\rm{360}}}}{\rm{.\pi }}{\rm{.5^2 = }}\frac{{\rm{25\pi }}}{{{\rm{3}}}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)