Bài 77 trang 148 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC.\) Lấy các điểm \(D, E, F\) theo thứ tự thuộc các cạnh \(AB, BC, CA\) sao cho \(AD = BE = CF.\) Chứng minh rằng \(∆DEF\) là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(AB = AD +  DB\)                   (1)

\(BC = BE + EC\)                    (2)

\(AC = AF + FC\)                    (3)

\(AB = AC  = BC\) (vì tam giác ABC là tam giác đều)  (4)

\(AD = BE = CF\) (gt)             (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:

\(BD = EC = AF\)

Xét \(∆ADF\) và \(∆BED\) có:

\( AD = BE \) (gt)

\(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)

\(AF = BD\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆ADF =  ∆BED \) (c.g.c)                   

\( \Rightarrow DF = ED\) (hai cạnh tương ứng)         (6)

Xét \(∆ADF\) và \(∆CFE\) có:

\( AD = CF\) (gt)

\(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)

\( AF=EC\) (chứng minh trên)        

\( \Rightarrow  ∆ADF = ∆CFE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  DF = FE\) (hai cạnh tương ứng)          (7)

Từ (6) và (7) suy ra: \(DF = ED = FE\).

Vậy \(∆DEF\) đều.

Loigiaihay.com