Bài 51 trang 164 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Gọi \(Ax, By\) là các tia vuông góc với \(AB\) \((Ax,By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc tia \(Ax.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt \(By\) ở \(N.\)

\(a)\) Tính số đo góc \(MON.\)

\(b)\) Chứng minh rằng \(MN = AM  + BN.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) \((R\) là bán kính của nửa đường tròn\().\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(H\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(MN\) với đường tròn \((O).\) Nối  \(OH.\)

Ta có:  \(\widehat {AOH} + \widehat {BOH} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

  \(OM\) là tia phân giác của góc \(AOH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

  \(ON\) là tia phân giác của góc \(BOH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(OM ⊥ ON\) (tính chất hai góc kề bù)

Vậy \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

\(b)\) Ta có:  \(MA = MH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(NB = NH\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: \(MN = MH + HN\)

Suy ra: \(  MN = AM + BN\)

\(c)\) Tam giác \(OMN\) vuông tại \(O\) có \(OH ⊥ MN\) (tính chất tiếp tuyến), theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(O{H^2} = MH.NH\)

Mà: \(  MH = MA, NH = NB\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(AM.BN = O{H^2} = {R^2}\).

Loigiaihay.com