Bài 55 trang 165 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O; 2cm),\) các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) kẻ từ \(A\) đến đường tròn vuông góc với nhau tại \(A\) \((B\) và \(C\) là các tiếp điểm\().\)

\(a)\) Tứ giác \(ABOC\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)

\(b)\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc cung nhỏ \(BC.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)

\(c)\) Tính số đo góc \(DOE.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Ta có: \(AB ⊥ AC  \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(AB ⊥ BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \)

\( AC ⊥ CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ABOC\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Mặt khác: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tứ giác \(ABOC\) là hình vuông.

\(b)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\( DB = DM\)

\( EM = EC\)

Chu vi của tam giác \(ADE\) bằng:

\(AD + DE + EA \)\(= AD + DM + ME + EA\)

\(      = AD + DB + AE + EC\)

\(  = AB + AC = 2AB\)

Mà tứ giác \(ABOC\) là hình vuông (chứng minh trên) nên:

\(AB  = OB = 2 (cm)\)

Vậy chu vi của tam giác \(ADE\) bằng: \(2.2 = 4 (cm)\)

\(c)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ \(OD\) là tia phân giác của góc \(BOM\)

Suy ra: \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOM}\)

+ \(  OE\) là tia phân giác của góc \(COM\)

Suy ra: \(\widehat {COE} = \widehat {EOM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COM}\)

Suy ra:

\(\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM} \)

\(= \displaystyle {1 \over 2}(\widehat {BOM} + \widehat {COM})\)

\(= \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}.90^\circ  = 45^\circ \).

Loigiaihay.com