Bài 59 trang 165 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng: \(AB + AC = 2(R + r).\)

Lời giải chi tiết

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)

Ta có:    \( BC = 2R\)

Giả sử đường tròn tâm \((O)\) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại \(D, AC\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F.\)

Ta có: \(OD  \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)

\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)

Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)

Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.

Suy ra: \(AD = AE = EO = OD = r\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+) \( AD = AE\)

+) \(  BD = BF\)

+) \(  CE = CF\)

Ta có: \(  2R + 2r =BC+AD+AE\)\(= BF + FC + AD + AE\)

\(             = (BD + AD) + (AE +CE)\)

\(             = AB + AC\)

Vậy \(AB + AC = 2 (R + r).\)

Loigiaihay.com