Bài 53 trang 165 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Tính diện tích tam giác đều \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((I; r).\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(BC.\)

Ta có: \(IH ⊥ BC\) (tính chất tiếp tuyến)

Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AI\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC.\) Khi đó \(A, I, H\) thẳng hàng.

Khi đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác đều ABC nên ta có: \(HB = HC=\dfrac{BC}2\) ( tính chất tam giác đều)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(I\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Suy ra: \(AH = 3.HI = 3.r\)

\(\widehat {HAB} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BAC}\)\( = \displaystyle{1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ \) (vì \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\))

Tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(BH = AH.tan\widehat {HAB} = 3{\rm{r}}.tan{30^0} \)\(=\displaystyle 3{\rm{r}}.{{\sqrt 3 } \over 3} = r\sqrt 3 \)

Mà: \(BC = 2.BH = 2r\sqrt 3 \)

Vậy \({S_{ABC}} =\displaystyle {1 \over 2}AH.BC \)\(= \displaystyle{1 \over 2}.3r.2r\sqrt 3  = 3{r^2}\sqrt 3 \) \((đvdt)\)

Loigiaihay.com