Bài 4.9 trang 104 SBT đại số 10

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\)

Lời giải chi tiết

\(y = \dfrac{{4(x + 1 - x)}}{x} + \dfrac{{9(x + 1 - x)}}{{1 - x}}\)

=\(4 + 9 + \dfrac{{4(1 - x)}}{x} + 9.\dfrac{x}{{1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.\dfrac{{(1 - x)}}{x}.9.\dfrac{x}{{1 - x}}}  = 25\)

\( \Leftrightarrow y \ge 25,\forall x \in (0;1)\)

Đẳng thức \(y = 25\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4(1 - x)}}{x} = \dfrac{{9x}}{{1 - x}} = 6\\x \in (0;1)\end{array} \right.\) hay \(x = \dfrac{2}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = \dfrac{2}{5}\).

Loigiaihay.com