Bài 4.1 trang 103 SBT đại số 10

Đề bài

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng 

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Lời giải chi tiết

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) - {y^3}\left( {x - y} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{x^2} + 2.x.\frac{y}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

Luôn đúng vì: 

\(\begin{array}{l}
{(x - y)^2} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R\\
\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge \frac{{3{y^2}}}{4} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R
\end{array}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Loigiaihay.com