Bài 4.1 trang 103 SBT đại số 10

Giải bài 4.1 trang 13 sách bài tập đại số 10. Trong các bài tập từ 4.1 đến 4.10, cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng...

Quảng cáo

Đề bài

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng 

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chuyển vế và khai triển dựa vào hằng đẳng thức

Lời giải chi tiết

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) - {y^3}\left( {x - y} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{x^2} + 2.x.\frac{y}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

Luôn đúng vì: 

\(\begin{array}{l}
{(x - y)^2} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R\\
\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge \frac{{3{y^2}}}{4} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R
\end{array}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 1: Bất đẳng thức
Quảng cáo
list
close
Gửi bài