Bài 4.3 trang 104 SBT đại số 10

Đề bài

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng 

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} =2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\))

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (bđt Cô si cho hai số dương \(a,b\))

Suy ra

\((a + b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{ab}}} .2\sqrt {ab}  \) \(= 4.\sqrt {\frac{1}{{ab}}.ab}  = 4\)

\(\Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\)

hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).

Loigiaihay.com