Bài 3.41 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.41 trang 133 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số ...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{    voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left( {1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left( {2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left( {3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left( {4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)

Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)

LG b

Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}  = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\dfrac{{{u_n}}}{n}\)

\(= \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{                       }}\left( 1 \right)\)

Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{                                }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.\dfrac{n}{{n + 1}}= \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)

Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_n} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)

LG c

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Phương pháp giải:

Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .

Lời giải chi tiết:

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)

Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài