Bài 3.40 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.40 trang 133 sách bài tập đại số và giải tích 11. Viết năm số hạng đầu của dãy số ;...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right) :\)

 \({\rm{                         }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ voi n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = 2\\
{u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 2.2 - 1 + 1 = 4\\
{u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 2.4 - 2 + 1 = 7\\
{u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 2.7 - 4 + 1 = 11
\end{array}\)

Năm số hạng đầu là \(1,2,4,7,11.\)

LG b

Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức truy hồi của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Từ công thức xác định dãy số ta có

\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có

\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2.\left( 2 \right)\)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1,\) công sai \(d = 1.\)

hay \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d \) \(= 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n\)

LG c

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Phương pháp giải:

Tính \({v_1},{v_2},...,{v_{n - 1}}\) rồi cộng các kết quả, rút gọn suy ra \({u_n}\).

Lời giải chi tiết:

Để tính \({u_n},\) ta viết

\(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}\)

Cộng từng vế \(n - 1\) hệ thức trên và rút gọn, ta được

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\)\( = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n}-1}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\) \(=1+S_{n-1}\) \( = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài