Bài 3.39 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.39 trang 133 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau

LG a

\({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\)

Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{      }}\left( 1 \right)\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có

\({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ =  }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\)

Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)

LG b

\({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng.

Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\)

Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có:

\({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\)  \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\)

\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\)

Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Từ đó suy ra đpcm.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài