Bài 33* trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) hai dây \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(M\) nằm bên trong đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\) Cho biết \(AB  >CD,\)  chứng minh rằng \(MH > MK.\)

Lời giải chi tiết

Xét (O) có  \(HA = HB \;(gt)\)

Suy ra:  \(OH ⊥ AB\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Xét (O) có  \(KC = KD\;\; (gt)\)

Suy ra:   \(OK ⊥ CD\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà  \(AB > CD \;\;(gt)\)

Nên  \(OK > OH\) ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(OHM\) ta có:

\(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\)

Suy ra:     \(H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\)     \( (1)\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(OKM,\) ta có:

\(O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\)

Suy ra:    \(K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\)      \((2)\)

Mà  \(OH < OK (cmt) \)          \( (3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(H{M^2} > K{M^2}\) hay \(HM > KM.\)

Loigiaihay.com