Bài 2.38 trang 81 SBT hình học 11

Giải bài 2.38 trang 81 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) nằm trong tam giác \(BCD\).

a) Dựng đường thẳng qua \(M\) song song với hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng \((ACD)\) tại \(B’\).

Chứng minh rằng \(AB’\), \(BM\) và \(CD\) đồng quy tại một điểm.

b) Chứng minh \(\dfrac{MB'}{BA}= \dfrac{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)}{dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}\).

c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng \((ACB)\) và \((ACD)\) kẻ từ \(M\) cắt \((ABD)\) tại \(C’\) và đường thẳng song song với hai mặt phẳng \((ADC)\) và \(ADB)\) kẻ từ \(M\) cắt \((ABC)\) tại \(D’\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{MB'}{BA} + \dfrac{MC'}{CA} + \dfrac{M{\rm{D}}'}{DA} = 1\) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

\(\left\{ \begin{array}{l} (\alpha )\parallel d\\(\beta )\parallel d\\(\alpha ) \cap (\beta )=d'\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel d'\)

Sử dụng định lý Talet.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MB'\parallel (ABC )\\MB'\parallel (ABD)\\(ABC) \cap (ABD)=AB\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow MB'\parallel AB\)

Do \(MB'\parallel AB\) nên \(MB’\) và \(AB\) xác định một mặt phẳng. Gọi \(MB\cup AB’\equiv I\).

Khi đó \(I \in BM \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right)\)

\(I \in AB' \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)\) 

Nên \(I \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = CD\),

\(I \in CD\)

Vậy ba đường thẳng \(AB’\), \(BM\) và \(CD\) đồng quy tại \(I\).

b) \(MB'\parallel AB \Rightarrow \dfrac{MB'}{AB} = \dfrac{IM}  {IB}\)

Kẻ \(MM' \bot CD\) và \(BH \bot CD\)

Ta có: \(MM'\parallel BH \Rightarrow \dfrac{IM}{IB} = \dfrac{MM'}{BH}\)

Mặt khác:

\(\left\{ \begin{array}{l}dt(\Delta MCD)=\dfrac{1}{2}CD.MM'\\dt(\Delta BCD)=\dfrac{1}{2}CD.BH\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CD.MM'}{\dfrac{1}{2}CD.BH}\)

\(=\dfrac{MM'}{BH}\)

Do đó: \(\dfrac{MB'} {AB} = \dfrac{IM}{IB} \)

\(= \dfrac{MM'}{BH}= \dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}\).

Vậy \(\dfrac{MB'}{AB} =\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}\).

c) Tương tự ta có:

\(\dfrac{MC'}{CA} =\dfrac {dt(\Delta MBD)}{dt(\Delta BCD)}\)

\(\dfrac{MD'}{DA} =\dfrac {dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}\)

Vậy: 

\(\dfrac{MB'}{BA} + \dfrac{MC'}{CA} + \dfrac{M{\rm{D}}'}{DA}\)

\(=\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}+\dfrac {dt(\Delta MBD)}{dt(\Delta BCD)}+\dfrac {dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}\)

\(=\dfrac{dt(\Delta MCD)+dt(\Delta MBD)+dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}\)

\(=1\) .

Logiaihay.com

  • Bài 2.39 trang 81 SBT hình học 11

    Giải bài 2.39 trang 81 sách bài tập hình học 11. Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’...

  • Bài 2.40 trang 81 SBT hình học 11

    Giải bài 2.40 trang 81 sách bài tập hình học 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD’...

  • Bài 2.41 trang 82 SBT hình học 11

    Giải bài 2.41 trang 82 sách bài tập hình học 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho...

  • Bài 2.42 trang 82 SBT hình học 11

    Giải bài 2.42 trang 82 sách bài tập hình học 11. a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau và hai đường chéo BD’ và B’D cắt nhau...

  • Bài 2.43 trang 82 SBT hình học 11

    Giải bài 2.43 trang 82 sách bài tập hình học 11. b) Giả sử đường thẳng M1M2 cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng...

Quảng cáo
close