Bài 2.19 trang 92 SBT hình học

Giải bài 2.19 trang 92 sách bài tập hình học. Cho hai véc tơ ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựng hình và tích tích vô hướng.

Lời giải chi tiết

Dựng tam giác ABC có AB = 5, BC= 12 và AC = 13.

Ta có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 13\)

Và \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow a (\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}
B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\\
= {\overrightarrow {AC} ^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {AB} ^2}\\
= A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2}
\end{array}\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{2}\left( {A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {{{13}^2} + {5^2} - {{12}^2}} \right) = 25\)

Ta suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \dfrac{{25}}{{5.13}} \approx 0,3846\)

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx {67^0}{23'}\).

Chú ý :

Có thể nhận xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Từ đó \(\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) \( = A{B^2} + 0 = 25\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài