Bài 2.22 trang 92 SBT hình học 10

Giải bài 2.22 trang 92 sách bài tập hình học 10. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng điều kiện \(MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Xen điểm thích hợp, biến đổi biểu thức tích vô hướng \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = 0\) và kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} )(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\)

=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \).

Do đó \(\overrightarrow {MP}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài