Bài 2.18 trang 92 SBT hình học 10

Đề bài

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Lời giải chi tiết

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có: \(2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} \) vì M là trung điểm của đoạn HD.

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} ).(\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HD} )\)

\( = \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH}  + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\)

\( = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \)

\(\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right).\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC} \\
= 0
\end{array}\)

Vậy AM vuông góc với BD.

Loigiaihay.com