Bài 1.48 trang 40 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.48 trang 40 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau...

Quảng cáo

➡ Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay! Góp ý ngay!💘

Đề bài

Giải phương trình sau \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) để nhìn thấy rõ đây là phương trình đẳng cấp.

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)

Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: 

\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):

\(\tan x=\tan \alpha\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)

\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x-6\sin x\cos x+{\sin}^2 x=1\)

Với \(\cos x=0\) thỏa mãn phương trình nên phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được

\(2-6\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)

\(\Leftrightarrow 2-6\tan x+{\tan}^2 x={\tan}^2 x+1\)

\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài tập - Có ngay lời giải