Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Cặp vecto chỉ phương

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Tìm một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).

b) Tìm một cặp vecto pháp

tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Giải:

a) Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AD} \) là một cặp vecto pháp tuyến của (ABCD).

b) Vì \(AA'\)\( \bot \)(ABCD) nên \(\overrightarrow {AA'} \) là một vecto pháp tuyến của (ABCD).

2. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Vecto \(\overrightarrow n  = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).

Biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\) thường được kí hiệu là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\).

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\).

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a  = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b  = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).

Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (3; - 5;7)\).

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (1;1;0)\).

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2;1)\).

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2;1)\) nên phương trình của (P) là \(1\left( {x--1} \right) + 2\left( {y--2} \right) + 1\left( {z--3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b  = (2;1;3)\).

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b  = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).

Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC}  = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).

Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Ví dụ: Mặt phẳng (P): \(4x + 3y + z + 5 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) (Q): \(8x + 6y + 2z + 9 = 0\);

b) (R): \(8x + 6y + 2z + 10 = 0\);

c) (S): \(4x + 2y + z + 5 = 0\).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) có các vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (4;3;1)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_3}}  = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_4}}  = (4;2;1)\).

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_2}}  = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(9 \ne 2.5\). Vậy (P)//(Q).

b) Ta có \(\overrightarrow {{n_3}}  = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(10 \ne 2.5\). Vậy (P)\( \equiv \)(R).

c) Ta có \(\frac{4}{3} \ne \frac{3}{2}\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_4}} \) không cùng phương. Vậy (P) cắt (S).

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R).

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).

Giải: \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \).