Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

\(ax + by \le c\;(ax + by \ge c,ax + by < c,ax + by > c)\) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: \(2x + 3y > 10\)

+) Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\;\)nếu bất đẳng thức \(a{x_0} + b{y_0} \le c\;\)đúng.

Ví dụ: cặp số \((3;5)\) là một nghiệm của BPT \(2x + 3y > 10\) vì \(2.3 + 3.5 = 21 > 10\)

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\;\)được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng \(d:ax + by = c\;\)chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by > c\)

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by < c\)

-  Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by = c\)

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT \(ax + by \le c\;\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\;\)trên hệ trục Oxy

Bước 2: Lấy một điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) không thuộc d

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

Bước 4: Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\)thì nửa mặt phẳng bờ d chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

-  Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \({M_0}\) là gốc tọa độ.

-  Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \({M_0}\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

-  Miền nghiệm của BPT \(ax + by < c\;\) là miền nghiệm của BPT \(ax + by \le c\;\)bỏ đi đường thẳng \(ax + by = c\;\) và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.