Giải mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP1

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là \(2x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?

c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).

c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]'\) và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).

Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).