Giải mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Giải thích tại sao $\int {0dx = C}$ và $\int {1dx = x + C}$

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}$ $\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)$. Từ đó, tìm $\int {{x^\alpha }dx}$.

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, ta cần chỉ ra rằng $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$, với lần lượt $F\left( x \right) = C$ và $F\left( x \right) = x + C$.

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do $C' = 0$ nên hàm số $F\left( x \right) = C$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 0$. Như vậy $\int {0dx = C}$.

Do $x' = 1$ nên hàm số $F\left( x \right) = x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 1$. Như vậy $\int {1dx = x + C}$.

b) Ta có $F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha  + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha  + 1}} = {x^\alpha }$. Vậy ta có $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}$ $\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^\alpha }$. Do đó $\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) $\int {{x^4}dx}$.

b) $\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx}$.

c) $\int {\sqrt x dx}$$\left( {x > 0} \right)$.

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức về dạng $\int {{x^\alpha }dx}$ và sử dụng công thức $\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C$.

Lời giải chi tiết:

a) $\int {{x^4}dx}  = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C$.

b) $\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx}  = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C =  - \frac{1}{{2{x^2}}} + C}$.

c) $\int {\sqrt x dx}  = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx}  = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C$.

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $F\left( x \right) = \ln \left| x \right|$ với $x \ne 0$.

a) Tìm đạo hàm của $F\left( x \right)$.

b) Từ đó, tìm $\int {\frac{1}{x}dx}$.

Phương pháp giải:

a) Với $x > 0$, ta có $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x$. Với $x < 0$, ta có $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)$, sau đó tính đạo hàm của $F\left( x \right)$ trong từng trường hợp trên.

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x > 0$, ta có $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x$.

Đạo hàm của $F\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ là: $F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}$.

Với $x < 0$, ta có $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)$.

Đạo hàm của $F\left( x \right)$ trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ là: $F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}$.

Vậy ta có đạo hàm của $F\left( x \right)$ trên $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ là $F'\left( x \right) = \frac{1}{x}$.

b) Từ câu a, ta có $F\left( x \right) = \ln \left| x \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$.

Do đó $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C}$

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số $y = \sin x$, $y =  - \cos x$, $y = \tan x$, $y =  - \cot x$.

b) Từ đó, tìm $\int {\cos xdx}$, $\int {\sin x} dx$, $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số $y = \sin x$, $y =  - \cos x$, $y = \tan x$, $y =  - \cot x$.

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x$

$\left( { - \cos x} \right)' =  - \left( { - \sin x} \right) = \sin x$

$\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

$\left( { - \cot x} \right)' =  - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

b) Từ câu a, ta có:

$\int {\cos xdx}  = \sin x + C$

$\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C$

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}$

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cot x + C}$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ thoả mãn $F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\int {\cos xdx}  = \sin x + C$, sau đó sử dụng điều kiện $F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ để tìm hằng số $C$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\cos xdx}  = \sin x + C$

Suy ra $F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C$ và $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C$

Do $F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ nên $C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C =  - \frac{1}{2}$.

Vậy $F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}$.

KP6

Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số $y = {e^x}$, $y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}$ với $a > 0$, $a \ne 1$.

b) Từ đó, tìm $\int {{e^x}dx}$ và $\int {{a^x}dx}$ ($a > 0$, $a \ne 1$).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số $y = {e^x}$, $y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}$($a > 0$, $a \ne 1$).

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}$ và $\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}$.

b)  Từ câu a, ta có:

$\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C$

$\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) $\int {{3^x}dx}$

b) $\int {{e^{2x}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức $\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C$ và $\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

Lời giải chi tiết:

a) $\int {{3^x}dx}  = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

b) $\int {{e^{2x}}dx}  = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx}  = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$.