Giải bài tập 6.18 trang 20 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10 cm.

a) Tính diện tích đáy S của hình chóp theo a.

b) Từ kết quả câu a, tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi a = 4 cm.

c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi như thế nào?

Lời giải chi tiết

a) Ta có đáy hình chóp là tam giác đều cạnh a nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra đường cao là một cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là a và cạnh góc vuông còn lại là \(\frac{a}{2}\).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có đường cao của đáy là:

\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt 3}{2}\)

Diện tích đáy S của hình chóp là:

\(S = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt 3}{2}.a = \frac{a^2\sqrt 3}{4}\)

b) Khi a = 4 cm, ta có: \(S = \frac{4^2\sqrt 3}{4} = 4\sqrt 3\)

Thể tích V của hình chóp là:

\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 . 10 = \frac{40\sqrt 3}{3} \)

c) Độ dài cạnh đáy mới là \(\frac{a}{2}\)

Chiều cao đáy mới là: 

h_mới \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} \)

\(= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\).

Diện tích đáy mới là:

S_mới \( = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}\).S_cũ.

Suy ra V_mới \( = \frac{1}{3}\).S_mới.h\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}\).S_cũ.h\( = \frac{1}{4}\).V_cũ

Vậy nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp giảm đi 4 lần.