Giải bài tập 6 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Với mỗi giá trị đã cho của m, hãy giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - 3y = m\\{m^2}x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\).

a) \(m = \sqrt 2 \);

b) \(m =  - \sqrt 2 \);

c) \(m = 2\sqrt 2 \).

Lời giải chi tiết

a) Với \(m = \sqrt 2 \) thay vào hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - 3y = \sqrt 2 \\{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\) (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với \(\sqrt 2 \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3\sqrt 2 y = 2\\2x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được \(0 = 0\) (luôn đúng). Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức \(x\sqrt 2  - 3y = \sqrt 2 \), suy ra \(y = \frac{{x\sqrt 2  - \sqrt 2 }}{3}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {x;\frac{{x\sqrt 2  - \sqrt 2 }}{3}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

b) Với \(m =  - \sqrt 2 \) thay vào hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - 3y =  - \sqrt 2 \\{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\) (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với \(\sqrt 2 \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3\sqrt 2 y =  - 2\\2x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được \(0 =  - 4\) (vô lí). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Với \(m = 2\sqrt 2 \) thay vào hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - 3y = 2\sqrt 2 \\{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\) (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với \(\sqrt 2 \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3\sqrt 2 y = 4\\8x - 3y\sqrt 2  = 2\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được \( - 6x = 2\), suy ra \(x = \frac{{ - 1}}{3}\).

Thay \(x = \frac{{ - 1}}{3}\) vào phương trình \(x\sqrt 2  - 3y = 2\sqrt 2 \) ta có: \(\frac{{ - 1}}{3}.\sqrt 2  - 3y = 2\sqrt 2 \), suy ra \(y = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{9}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{9}} \right)\).