Giải bài tập 3 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

 

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$, $\overrightarrow{AC} = (0; -2; 4)$, $\overrightarrow{BC} = (-1; -3; 3)$.

Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} + \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 3^2}$

= $\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{19}$

b) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Ta có: $A'(\frac{{2 + 3}}{2};\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{ - 1}}{2})$ hay $A'(\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - \frac{1}{2})$

$B'(\frac{{3 + 2}}{2};\frac{{2 - 1 }}{2};\frac{3}{2})$ hay $B'(\frac{5}{2};\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

$C'(\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{1 - 1}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2})$ hay $C'(2;0;1)$

c) $G(\frac{{2 + 3 + 2}}{3};\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{ - 1 + 3}}{3})$ hay $G(\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$