Giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có các đỉnh \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\).

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(C\left( {4; - 1;3} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {0; - 1;1} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5.1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).0 - \left( { - 4} \right).1;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.0} \right) = \left( {4;4;4} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(4\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {4;0;2} \right)\), \(B\left( {0;5;1} \right)\), \(D\left( {3; - 1;5} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;5; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( {ABD} \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {5.3 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - \left( { - 4} \right).3;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 5.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {14;13;9} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là:

\(14\left( {x - 4} \right) + 13\left( {y - 0} \right) + 9\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\)

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua cạnh \(BC\) và song song với cạnh \(AD\), và do \(ABCD\) là tứ diện nên \(\overrightarrow {BC} \left( {4; - 6;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AD} \left( { - 1; - 1;3} \right)\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( P \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left( { - 6} \right).3 - 2.\left( { - 1} \right);2.\left( { - 1} \right) - 4.3;4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 16; - 14; - 10} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\( - 16\left( {x - 0} \right) - 14\left( {y - 5} \right) - 10\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\)