Giải bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

 

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\) 

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  - \infty \).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng, \(y = \frac{1}{2}x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} =  - 7\)

Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x - 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  - \infty \).

\(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{5}{2}\), tiệm cận xiên là \(y = x + 2.\)