Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng  \(\left( {BCD} \right)\) đi qua ba điểm \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2; - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BD}  = \left( {0;4; - 6} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(16\left( {x - 0} \right) - 6\left( {y - 2} \right) - 4\left( {z + 1} \right) = 0\), hay \(8x - 3y - 2z + 4 = 0\).

Thay toạ độ điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \ne 0\). Vậy điểm \(A\) không nằm trên \(\left( {BCD} \right)\), điều đó đồng nghĩa \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), khoảng cách đó bằng \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;3} \right)\) và \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1;2;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \( - 12\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 6} \right) = 0\), hay \( - x + z - 5 = 0\).