Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ đứng \(OBC.O'B'C'\) có đáy là tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\). Cho biết \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\).

b) hai mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) và \(\left( {OBC} \right)\).

c) đường thẳng \(B'C\) và mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có toạ độ các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Suy ra \(B'\left( {3;0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BO'\) và \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Suy ra:

\(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\)

Từ đó \(\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'\).

b) Mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {O'BC} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có \(OO' \bot \left( {OBC} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {OBC} \right)\).

Suy ra

\(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}\)

Vậy \(\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'\).

c) Ta có \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\).

Ta có \(\vec n = \left( {2;6;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra

\(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}\)

Vậy \(\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {76^o}45'\).