Giải bài tập 11 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + z + 7 = 0\).

a) Tính góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\).

b) Tính góc hợp bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) với mặt đất \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;0;2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {P'} \right)\) là \(\vec n' = \left( {1;0;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}\).

Cách khác: Do \(\frac{2}{1} = \frac{2}{1}\) nên \(\vec n\) và \(\vec n'\) là hai vectơ cùng phương. Suy ra \(\left( P \right)\parallel \left( {P'} \right)\). Từ đó \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}\).

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt đất \(\left( Q \right)\) là \(\vec m = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec m} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}\). Chứng minh tương tự, ta có \(\left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}.\)