Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

Quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\)  điểm \(M\) thuộc đường tròn. Vẽ điểm \(N\) đối xứng với \(A\) qua \(M.\) \(BN\) cắt đường  tròn ở \(C.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM.\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(NE  ⊥ AB.\) 

\(b)\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(M.\) Chứng minh rằng \(FA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(FN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(( B ;  BA).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tam giác nội tiếp đường tròn, có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Trong tam giác, ba đường cao cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm tam giác.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Tam giác \(ABM\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)

Suy ra: \(AN ⊥ BM\)

Tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(C\)

Suy ra: \(AC ⊥ BN\)

Tam giác \(ABN\) có hai đường cao \(AC\) và \(BM\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác \(ABN\) 

Suy ra: \(NE ⊥ AB\)

\(b)\) Ta có: \(MA = MN\) ( tính chất đối xứng tâm)

                 \(ME = MF\) ( tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác \(AENF\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra:    \(AF // NE\)

Mà          \(NE ⊥ AB\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(AF ⊥ AB\) tại \(A.\)

Vậy \(FA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(c)\) Trong tam giác \(ABN\) ta có: \(AN ⊥ BM\) và \(AM = MN\) hay BM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác \(ABN\) cân tại \(B.\)

Suy ra \(BA = BN\) hay \(N\) thuộc đường tròn \((B; BA)\)

Tứ giác \(AFNE\) là hình bình hành nên  \(AE // FN\) hay \(FN // AC\)

Mặt khác: \(AC ⊥ BN\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(FN ⊥ BN \) tại \(N\)

Vậy \(FN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(( B; BA).\)

Loigiaihay.com

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

Quảng cáo
close