Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

Quảng cáo

Đề bài

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Gọi \(M\) là điểm thuộc nửa đường tròn, \(D\) là giao điểm của \(AM\) và \(By,\) \(C\) là giao điểm của \(BM\) và \(Ax,\) \(E\) là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AC.BD = AB^2;\)

\(b)\) \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(a)\) Chứng minh hai tam giác đồng dạng để thiết lập tỉ số giữa các cạnh, từ đó chứng minh được biểu thức đề bài đưa ra.

\(b)\) Theo tính chất của tiếp tuyến, ta phải chứng minh được \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Áp dụng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với canh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. 

Từ đó ta tìm các góc bằng nhau, thiết lập mối liên hệ giữa chúng.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}=90^0\) (1)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M.

Suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) ( cùng phụ với \(\widehat {{A_1}}\)).

Xét \(∆ABC\) và \(∆BDA\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆BDA \;\;(g.g)\) suy ra:

\(\displaystyle{{AB} \over {BD}} = {{AC} \over {BA}} \)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ), do đó \(AC . BD = AB^2\)

\(b)\) Vì tam giác AMB vuông tại M (cmt) nên \(AD\bot BM\) 

Suy ra tam giác BMD vuông tại M.

Ta có \(∆MBD\) vuông tại M có ME là đường trung tuyến nên \(ED = EM = EB\)

 Suy ra \(∆EBM\) cân tại E nên \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{B_2}}\)\((1)\)

Lại có \(∆MOB\) cân tại \(O\) (do \(OM=OB)\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra

\(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}}\) = \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\) \(=\widehat {{OBD}}=90^\circ \)

Hay \(\widehat {{OME}}=90^0\) tức là \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Vậy \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Loigiaihay.com

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

Quảng cáo
close