Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

Quảng cáo

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB.\) Vẽ đường tròn \((M ; MH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(AC, BD\) với đường tròn tâm \(M ( C\) và \(D\) là các tiếp điểm khác \(H).\)

\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(b)\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \((O)\) thì tổng \(AC + BD\) không đổi.

\(c)\) Giả sử \(CD\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng tích \(OH.OI\) không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

\(*\)) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với  hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((M; MH),\) có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \( MA\) là tia phân giác của góc \(HMC\) và \(AC=AH\)

Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)

Trong đường tròn \((M; MH),\) có BD và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(MB\) là tia phân giác của góc \(HMD\) và \(BD=BH\)

Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)

Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)

Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)

\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy \(C, M, D\) thẳng hàng.

\(b)\) Theo câu a) ta có: \(AC = AH\) và \(BD = BH\)

Khi \(M\) thay đổi trên nửa đường tròn tâm \(O\) thì \(AC\) luôn bằng \(AH\) và \(BD\) luôn bằng \(BH.\)

Suy ra: \(AC + BD = AH + BH = AB\) không đổi

\(c)\) Ta có: \(AC ⊥ CD \) và \( BD ⊥ CD\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(AC // BD\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang

Mà \(OA = OB \) (= bán kính \((O)\))

Và \(MC = MD\) (= bán kính \((M)\))

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

Khi đó \(OM // AC.\) Suy ra: \(OM ⊥ CD\) hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)

Tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\) có \(MH ⊥ OI.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(OM^2= OH.OI\)

Mà OM là bán kính đường tròn (O) nên OM có độ dài không đổi.

Suy ra: \(OH.OI \) không đổi. 

Loigiaihay.com

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

Quảng cáo
close