Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB.\) Vẽ đường tròn \((M ; MH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(AC, BD\) với đường tròn tâm \(M ( C\) và \(D\) là các tiếp điểm khác \(H).\)

\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(b)\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \((O)\) thì tổng \(AC + BD\) không đổi.

\(c)\) Giả sử \(CD\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng tích \(OH.OI\) không đổi.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((M; MH),\) có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \( MA\) là tia phân giác của góc \(HMC\) và \(AC=AH\)

Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)

Trong đường tròn \((M; MH),\) có BD và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(MB\) là tia phân giác của góc \(HMD\) và \(BD=BH\)

Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)

Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)

Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)

\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy \(C, M, D\) thẳng hàng.

\(b)\) Theo câu a) ta có: \(AC = AH\) và \(BD = BH\)

Khi \(M\) thay đổi trên nửa đường tròn tâm \(O\) thì \(AC\) luôn bằng \(AH\) và \(BD\) luôn bằng \(BH.\)

Suy ra: \(AC + BD = AH + BH = AB\) không đổi

\(c)\) Ta có: \(AC ⊥ CD \) và \( BD ⊥ CD\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(AC // BD\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang

Mà \(OA = OB \) (= bán kính \((O)\))

Và \(MC = MD\) (= bán kính \((M)\))

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

Khi đó \(OM // AC.\) Suy ra: \(OM ⊥ CD\) hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)

Tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\) có \(MH ⊥ OI.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(OM^2= OH.OI\)

Mà OM là bán kính đường tròn (O) nên OM có độ dài không đổi.

Suy ra: \(OH.OI \) không đổi. 

Loigiaihay.com