Bài 81* trang 51 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Qua mỗi đỉnh \(A, B, C\) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác \(DEF\) (h.17)

a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm \(EF.\)

b) Các đường cao của tam giác \(ABC\) là các đường trung trực của tam giác nào? 

Lời giải chi tiết

a) Xét \(∆ABC\) và \(∆CEA\) có: 

+) \(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong, \(AE // BC)\)

+) \(AC\) cạnh chung 

+) \(\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (so le trong,\( CE // AB)\)

Do đó:  \(∆ABC = ∆CEA\) (g.c.g)

\( \Rightarrow  AE = BC\)        (1)

Xét \(∆BAC\) và \(∆ABF\) có:

+) \(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong, \(BF // AC)\)

+) \(AB\) cạnh chung

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong, \(BF // AC)\)

Do đó: \(∆BAC = ∆ABF\) (g.c.g)

\( \Rightarrow  AF = BC  \)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AF.\) Vậy \(A\) là trung điểm \(EF.\)

b) Kẻ \({\rm{A}}H \bot BC\)

Lại có \(EF // BC\)    (gt)

\( \Rightarrow \) \(AH \bot EF\)

Mà \(AE = AF\) (chứng minh trên)

Vậy đường cao \(AH\) là đường trung trực của \(EF.\)

Chứng minh tương tự, ta có:

+) \(B\) là trung điểm \(DF\) và \(DF // AC\) nên đường cao kẻ từ đỉnh \(B\) của \(∆ABC\) là đường trung trực của \(DF.\)

+) \(C\) là trung điểm \(DE\) và \(DE // AB\) nên đường cao kẻ từ đỉnh \(C\) của \(∆ABC\) là đường trung trực của \(DE.\)

Loigiaihay.com