Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...

Quảng cáo

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B.\) Vẽ về một phía của \(AB\) các nửa đường  tròn có đường kính theo thứ tự là \(AB, AC, CB.\) Đường vuông góc với \(AB\) tại \(C\) cắt nửa đường tròn lớn tại \(D.\) \(DA, DB\) cắt các nửa đường tròn có đường kính \(AC, CB\) theo thứ tự \(M, N.\)

\(a)\) Tứ giác \(DMCN\) là hình gì\(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Chứng minh hệ thức \(DM.DA = DN.DB.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(MN\) là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính \(AC\) và \(CB.\)

\(d)\) Điểm \(C\) ở vị trí nào trên \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất \(?\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với  hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MDN} = 90^\circ \)

Tam giác \(ACM\) nội tiếp đường tròn có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CM ⊥ AD ⇒\widehat {CMD} = 90^\circ \)

Tam giác \(BCN\) nội tiếp trong đường tròn có \(BC\) là đường kính nên \(\widehat {BNC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CN ⊥ BD ⇒ \widehat {CND} = 90^\circ \)

Tứ giác \(CMDN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

\(b)\) Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(CM ⊥ AD.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(C{D^2} = DM.DA\)    \((1)\)

Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) có \(CN ⊥  BD.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(C{D^2} = DN.DB\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(DM.DA = DN.DB\)

\(c)\) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC, Q\) là trung điểm của \(BC, I\) là giao điểm của \(MN\) với \(DC.\)

Vì \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(IC = IM = ID = IN\)

Tam giác \(CNI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICN} = \widehat {INC}\)   \((3)\)

Tam giác \(CNQ\) cân tại \(Q\) nên \(\widehat {QCN} = \widehat {QNC}\)   \((4)\)

Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {ICN} + \widehat {QCN} = 90^\circ \)    \((5)\)

Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {INC} + \widehat {QNC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ QN\)

Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC.\)

Tam giác \(CMI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICM} = \widehat {IMC}\)       \((6)\)

Tam giác \(CMP\) cân tại \(P\) nên \(\widehat {PCM} = \widehat {PMC}\)   \((7)\)

Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {PCM} + \widehat {ICM} = 90^\circ \) \( (8)\)

Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PMC} + \widehat {IMC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ PM\)

Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AC.\)

\(d)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\)

Tứ giác \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(CD = MN\)

Trong tam giác \(OCD\) ta có: \(CD  \le  OD\) nên \(MN  \le  OD\)

Vì \(OD\) không đổi nên \(MN = OD\) là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(C\) trùng với \(O.\)

Vậy \(C\) là trung điểm của \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất.

Loigiaihay.com

  • Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

Quảng cáo
close