Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(DE, D ∈ (O),\) \(E ∈ (O’).\)  Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A,\) cắt \(DE\) ở \(I.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OI\) và \(AD,\) \(N\) là giao điểm của \(O’I\) và \(AE.\)

\(a)\) Tứ giác \(AMIN\) là hình gì \(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Chứng minh hệ thức \(IM.IO = IN.IO’.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(OO’\) là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là \(DE.\)

\(d)\) Tính độ dài \(DE\) biết rằng \(OA = 5cm,\)\( O’A = 3,2cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

\(*\)) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+) Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có \(OI\) là tia phân giác của góc \(AID\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(O’I\) là tia phân giác của góc \(AIE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

Mà góc \(AID\) và góc \(AIE\) là hai góc kề bù nên \(IO ⊥ IO'\) ( tính chất hai góc kề bù)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MIN} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O) có \(IA = ID \) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(ADI\) cân tại \( I.\)

Tam giác \(ADI\) cân tại I có \(IO\) là phân giác của góc \(AID\) nên \(IO\) cũng là đường cao của tam giác \(AID.\)

\(\Rightarrow\) \(IO ⊥ AD\) hay \(\widehat {AMI} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O') có \(IA = IE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(AEI\) cân tại \( I.\)

Tam giác cân \(AIE\) có \(IO'\) là phân giác của góc \(AIE\) nên \(IO'\) cũng là đường cao của tam giác \(AIE.\)

\(\Rightarrow\) \(IO' ⊥ AE\) hay \(\widehat {ANI} = 90^\circ \)

Tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật ( Tứ giác có ba góc vuông)

\(b)\) Tam giác \(AIO\) vuông tại \(A\) có \(AM ⊥ IO.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO\), ta có: 

\(IA^2= IM.IO         \;\;\;      (1)\)

Tam giác \(AIO'\) vuông tại \(A\) có \(AN ⊥ IO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO'\) , ta có:

\(IA^2= IN.IO'          \;\;\;      (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(IM.IO = IN.IO'\)

\(c)\) Ta có: \(IA = ID\) và \(IA = IE \) ( chứng minh trên) nên \(IA=ID=IE=\dfrac{DE}2\)

\(\Rightarrow\) \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(DE.\)

Vì \(OO' ⊥ IA\) tại \(A\) nên \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\displaystyle \left( {I;{{DE} \over 2}} \right).\)

\(d)\) Tam giác \(O'IO\) vuông tại \(I\) có \(IA ⊥ OO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(O'IO\), ta có:

\( IA^2= OA.O'A = 5.3,2 = 16\)

\(\Rightarrow\) \(IA = 4 (cm).\)

Mà \(IA=\dfrac{DE}2\Rightarrow DE = 2IA\) nên \(DE = 2.4 = 8 (cm).\)

Loigiaihay.com

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

Quảng cáo
close