Giải bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (\(a{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\) ) và d': y=a'x + b' (\(a'{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\))  vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Lời giải chi tiết

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d,d'\) lần lượt là: \(ax - y + b = 0,{\rm{ }}a'x - y + b' = 0\).

Do đó \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a; - 1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( {a'; - 1} \right)\).

Ta có \(d \bot d' \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{d'}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d'}}}  = 0 \Leftrightarrow a.a' + \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a.a' =  - 1\).