Bài 70 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Dây \(AC\) của đường tròn \((O)\) tiếp xúc với đường tròn \((O’)\) tại \(A.\) Dây \(AD\) của đường tròn \((O’)\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A.\) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(A\) qua trung điểm \(I\) của \(OO’,\) \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AB ⊥ KB;\)

\(b)\) Bốn điểm \(A, C, E, D\) nằm trên cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

 

\(a)\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO’.\)

Vì hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(AB\)

Hay \(OO’ ⊥ AB\) tại \(H\) và \(HA = HB\)

Lại có \(I\) là trung điểm của \(OO’\) nên \(IH ⊥ AB\;\;      (1)\)

Trong tam giác \(ABK,\) ta có:

\(HA = HB\) (chứng minh trên)

\(IA =  IK\) (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(ABK\)

Suy ra \(IH // BK      \;\;           (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AB ⊥KB\)

\(b)\) Vì  \(AB ⊥ KB\) nên \(AE ⊥ KB\)

Lại có: \(AB = BE\) ( tính chất đối xứng tâm)

Suy ra KB là đường trung trực của AE

Do đó: \(KA = KE\) ( tính chất đường trung trực)       \((3)\)

Ta có:  \(IO = IO’\;\; (gt)\)

\(IA = IK \) ( chứng minh trên)

Tứ giác \(AOKO’\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra: \(OK // O’A\) và \(OA // O’K\)

\(CA ⊥ O’A \) (vì \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\))

\(OK // O’A\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(OK ⊥ AC\)

Xét đường tròn (O) có \(OK ⊥ AC\) mà OK là 1 phần đường kính và AC là dây cung nên OK đi qua trung điểm của AC.

Khi đó \(OK\) là đường trung trực của \(AC\)

Suy ra: \(KA = KC\) ( tính chất đường trung trực)         \((4)\)

\(DA ⊥ OA\) ( vì \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\))

\(O’K // OA\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(O’K  ⊥ DA\)

Xét đường tròn (O') có \(O'K ⊥ DA\) mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung nên O'K đi qua trung điểm của AD.

Khi đó \(O’K\) là đường trung trực của \(AD\)

Suy ra: \(KA = KD\) ( tính chất đường trung trực)       \((5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(KA = KC = KE = KD\)

Vậy bốn điểm \(A, C, E, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Loigiaihay.com