Bài 7 trang 232 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 7 trang 232 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình

LG a

\({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x - {\cos ^2}3x - {\cos ^2}4x = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x + {\cos ^2}2x - {\cos ^2}3x - {\cos ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 4x}}{2} - \frac{{1 + \cos 6x}}{2} - \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x - 1 - \cos 6x - 1 - \cos 8x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x + \cos 4x} \right) - \left( {\cos 6x + \cos 8x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x - 2\cos 7x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 3x - \cos 7x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x.\left[ { - 2\sin 5x\sin \left( { - 2x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 4\cos x\sin 5x\sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin 5x = 0\\\sin 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\5x = k\pi \\2x = k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{{k\pi }}{5}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{5}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

LG b

\(\cos 4x\cos \left( {\pi  + 2x} \right) - \sin 2x\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 4x} \right) \) \(= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 4x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos 4x\cos \left( {\pi  + 2x} \right) - \sin 2x\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 4x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 4x\\ \Leftrightarrow  - \cos 4x\cos 2x - \sin 2x\sin 4x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 4x\\ \Leftrightarrow  - \left( {\cos 4x\cos 2x + \sin 2x\sin 4x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 4x\\ \Leftrightarrow  - \cos \left( {4x - 2x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.2\sin 2x\cos 2x\\ \Leftrightarrow  - \cos 2x = \sqrt 2 \sin 2x\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x\cos 2x + \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sqrt 2 \sin 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sqrt 2 \sin 2x + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sin 2x =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\2x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x =  - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

LG c

\(\tan \left( {{{120}^0} + 3x} \right) - \tan \left( {{{140}^0} - x} \right) = 2\sin \left( {{{80}^0} + 2x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

ĐK:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{120^0} + 3x \ne {90^0} + k{.180^0}\\{140^0} - x \ne {90^0} + k{.180^0}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne  - {30^0} + k{.180^0}\\x \ne {50^0} - k{.180^0}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - {10^0} + k{.180^0}\\x \ne {50^0} - k{.180^0}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {{{120}^0} + 3x} \right) - \tan \left( {{{140}^0} - x} \right) = 2\sin \left( {{{80}^0} + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left[ {3\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right] - \tan \left[ {{{180}^0} - \left( {{{40}^0} + x} \right)} \right] = 2\sin \left[ {2\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \tan \left[ {3\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right] - \tan \left[ { - \left( {{{40}^0} + x} \right)} \right] = 2\sin \left[ {2\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \tan \left[ {3\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right] + \tan \left( {{{40}^0} + x} \right) = 2\sin \left[ {2\left( {{{40}^0} + x} \right)} \right]\end{array}\)

Đặt \({40^0} + x = y\) ta được:

\(\begin{array}{l}\tan 3y + \tan y = 2\sin 2y\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 3y}}{{\cos 3y}} + \frac{{\sin y}}{{\cos y}} = 2\sin 2y\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 3y\cos y + \sin y\cos 3y}}{{\cos 3y\cos y}} = \frac{{2\sin 2y\cos 3y\cos y}}{{\cos 3y\cos y}}\\ \Rightarrow \sin 3y\cos y + \sin y\cos 3y = 2\sin 2y\cos 3y\cos y\\ \Leftrightarrow \sin 4y - 2\sin 2y\cos 3y\cos y = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2y\cos 2y - 2\sin 2y\cos 3y\cos y = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2y\left( {\cos 2y - \cos 3y\cos y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2y\left[ {\cos 2y - \frac{1}{2}\left( {\cos 4y + \cos 2y} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2y\left( {\frac{1}{2}\cos 2y - \frac{1}{2}\cos 4y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2y\left( {\cos 2y - \cos 4y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2y.\left[ { - 2\sin 3y\sin \left( { - y} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin y\sin 2y\sin 3y = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin y = 0\\\sin 2y = 0\\\sin 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = k{180^0}\\2y = k{180^0}\\3y = k{180^0}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = k{.180^0}\\y = k{.90^0}\\y = k{.60^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = k{.60^0}\\y = {90^0} + k{.180^0}\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + {40^0} = k{.60^0}\\x + {40^0} = {90^0} + k{.180^0}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - {40^0} + k{.60^0}\\x = {50^0} + k{180^0}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x =  - {40^0} + k{.60^0},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy pt có nghiệm \(x =  - {40^0} + k{.60^0},k \in \mathbb{Z}\).

LG d

\({\tan ^2}\frac{x}{2} + {\sin ^2}\frac{x}{2}\tan \frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}.{\cot ^2}\frac{x}{2} + {\cot ^2}\frac{x}{2} + \sin x = 4\)

Lời giải chi tiết:

x = (4k + 1) π/2;

x = (-1)(k+1)arcsin2/3 + kπ.

LG e

\(\frac{{\sin 2t + 2{{\cos }^2}t - 1}}{{\cos t - \cos 3t + \sin 3t - \sin t}} = \cos t\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2t + 2{{\cos }^2}t - 1}}{{\cos t - \cos 3t + \sin 3t - \sin t}} = \cos t\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2t + \cos 2t}}{{ - 2\sin 2t\sin \left( { - t} \right) + 2\cos 2t\sin t}} = \cos t\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2t + \cos 2t}}{{2\sin 2t\sin t + 2\cos 2t\sin t}} = \cos t\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2t + \cos 2t}}{{2\sin t\left( {\sin 2t + \cos 2t} \right)}} = \cos t\end{array}\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin t \ne 0\\\sin 2t + \cos 2t \ne 0\end{array} \right.\)(*)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sin t}} = \cos t\\ \Rightarrow 1 = 2\sin t\cos t\\ \Leftrightarrow 1 = \sin 2t\\ \Leftrightarrow 2t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {TM\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy pt có nghiệm \(t = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài