Bài 6 trang 6 SBT toán 7 tập 1

LG a

Chứng tỏ rằng nếu $\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\;\;(b > 0,d > 0)$ thì $\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}$ 

Phương pháp giải:

- Hai phân số cùng mẫu dương, tử số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ta có: 

$\begin{array}{l} a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left( \text{với }{b > 0} \right)\\ \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left(\text{với } {b > 0} \right) \Rightarrow a < c \end{array}$

    - Tính chất nhân phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$ab+ac=a(b+c)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle {a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}$

Vì $b>0, d > 0 \Rightarrow  bd > 0$.

Mà $\displaystyle {a \over b} < {c \over d}$ nên $\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}$ $\Rightarrow ad < bc$ (vì $bd>0$)           (1)

Cộng vào hai vế của (1) với $ab$ ta được: 

$a{\rm{d}} + ab < bc + ab$

$\Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right)$   (*)

Chia cả hai vế (*) với $b(b+d)$ ta được:

$\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}$                 (2)

Cộng vào hai vế của (1) với $cd$ ta được:

$a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}$

$\Rightarrow d\left( {a + c} \right) < c\left( {b + d} \right)$    (2*)

Chia cả hai vế (2*) với $d(b+d)$ ta được:

$\displaystyle {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}$                 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}$

LG b

 Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa $\displaystyle{{ - 1} \over 3}$ và $\displaystyle{{ - 1} \over 4}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả câu a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1} \over 4}$

Áp dụng câu a) ta có:

$\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 1)} \over {3 + 4}} = {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}$

Vì $\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 2} \over 7}$

$\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 2)} \over {3 + 7}} = {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7}$

Vì $\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 3} \over {10}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 3)} \over {3 + 10}} = {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}}$

Vậy $\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}$. 

Loigiaihay.com