Giải bài 55 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn $\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM}$

với k là số thực. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {EN}$ theo các vectơ $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AC}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM

a) Ta có:  $\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow a$; $\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}  = \frac{2}{5}\overrightarrow b$;

$\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b$

+ $\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM}  = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{k}{3}\overrightarrow b$

+ $\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AD}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  + \frac{2}{5}\overrightarrow b$

+ $\overrightarrow {EN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AE}  = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) - \frac{2}{5}\overrightarrow b  = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b$

b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {EN}  = t\overrightarrow {DE}$ $\Leftrightarrow \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b  = t\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow a  + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} =  - \frac{t}{3}\\\frac{{5k - 6}}{{15}} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}k + \frac{1}{3}t = 0\\\frac{1}{3}k - \frac{2}{5}t = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t =  - \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.$

Vậy với $k = \frac{6}{{17}}$ thì D, E, N thẳng hàng.