Bài 5.2 trang 198 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 5.2 trang 198 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính...

Quảng cáo

Đề bài

Cho \(f\left( x \right) = \root 3 \of {x - 1} .\)  Tính \(f'\left( 0 \right);f'\left( 1 \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính đạo hàm \(f'(x)\) và thay \(x=0,x=1\) vào công thức vừa tính xong.

Lời giải chi tiết

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {0 + \Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\ = \sqrt[3]{{0 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{0 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x - 1 + 1}}{{\Delta x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}\\ = \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = \sqrt[3]{{1 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}} =  + \infty \end{array}\)

Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài