Bài 4.41 trang 172 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 4.41 trang 172 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh phương trình ...

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh phương trình 

\({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\) xác định trên R

- Ta có

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr 
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = + \infty \cr} \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to  + \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) =  + \infty \)

Do đó, \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số sao cho \(f\left( a \right) > 1\)        (1)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr 
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = - \infty \cr} \) (do n lẻ).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty\) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to  - \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) =  - \infty \) hay \(\lim \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] =  + \infty \)

Do đó, \( - f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho \( - f\left( b \right) > 1\) hay \(f\left( b \right) <  - 1\)               (2)

- Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\)

Mặt khác, \(f\left( x \right)\) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 3: Hàm số liên tục
Quảng cáo
list
close
Gửi bài