Bài 4.40 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 4.40 trang 171 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

LG a

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)    

\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m.

Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.

LG b

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right]\).

Hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) là hàm số lượng giác có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) nên liên tục trên TXĐ \(\mathbb{R}\) nên cũng liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)

Ta có:

\(f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\) \( =  - 1 - \sqrt 2  < 0\)

\(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\)\( =  - 1 + \sqrt 2  > 0\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) với mọi \(m\).

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 3: Hàm số liên tục
Quảng cáo
list
close
Gửi bài