Bài 4.39 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 4.39 trang 171 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng phương trình...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng phương trình

LG a

\({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) =  - 7,f\left( 2 \right) = 19\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right)\).

LG b

\(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi  \over 6};\pi } \right)\) ;

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Ta có:

\(f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}\)

\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1\)

\(f\left( \pi  \right) = 3\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi  \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)\).

LG c

\(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có nghiệm dương.

Lời giải chi tiết:

Ta có,

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1]              (1)

Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) =  - 3.4 < 0\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 3: Hàm số liên tục
Quảng cáo
list
close
Gửi bài