Bài 4.25 trang 108 SBT đại số 10

Giải bài 4.25 trang 108 sách bài tập đại số 10. Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm: 

LG a

\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

BPT tương đương: \({x^2} + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 2\) 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số \({x^2} + 1\) và  \(\dfrac{1}{{({x^2} + 1)}}\) ta được:

\(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {({x^2} + 1).\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} = 2 \, \forall x\)

Vậy \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2 \, \forall x\)

Hay \({x^2}  + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 1\)

Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}  = 2\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)

Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.

LG c

\(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).

Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a }  = \sqrt[4]{a}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close