Bài 3.6 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.6 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho tổng...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}.\)

LG a

Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)

\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)

\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)

\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)

Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)

LG b

Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)

Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)

Chứng minh :

Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.

Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)

\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài